Бесплатный фрагмент - Числа. Часть 1: Пифагоровы тройки

Числа. Часть 1. Пифагоровы тройки

Содержание

Ввод в тему

Серьезное изучение вопроса

Выводы

Изучены Пифагоровы числа, с катетами до 10 000. Сделан вывод о распределении уникальных из них, тех, которые нельзя получить из других умножением на целое всей тройки. Построен график наглядно демонстрирующий это, с коэффициентом корреляции R² = 1.

.

Ввод в тему

Пифагоровы тройки — это числа вида:

A2 + B2 = C2

Переберем все A и B от 1 до 100 и выясним которые из них являются Пифагоровыми тройками. Для определенности будем считать, что A <B, то есть 2 формулы:

A2 + B2 = C2

B2 + A2 = C2

идентичны и тройки (3,4,5) и (4,3,5) два раза считать не будем и разумеется гипотенуза всегда будет последней в ряду. Также данные будут отсортированы сначала по 1-ому катету, и если есть повторы, то по 2-ому. Так 1-ый повтор начинается с 9-ки: (9,12,15), (9,40,41).

Получена следующая таблица:

Всего 63 троек чисел. Как они получены будет показано позже.

Из Таблицы 1 получим Таблицу 2, в которой будут только уникальные Пифагоровы тройки.

Разница начинается с третьей тройки (6,8,10) Таблицы 1.

Почему он исключен во второй?

Пифагорову 3-ку (6,8,10) можно получить из 1-ой (3,4,5) умножением последней на 2.

(3,4,5) -> 32+42=52 (расписывать и считать не будем, кому не очевидно проведите расчеты самостоятельно).

(6,8,10) -> (3*2) 2 + (4*2) 2= (5*2) 2, что эквивалентно (6) 2+ (8) 2= (10) 2.

Ищем делители A и проверяем есть ли такие же у B, если есть, то можно сократить. По другому можно сказать ищем НОД (A,B), если он равен единице, то 3-ка уникальна, иначе скорее всего она встречалась ранее в таблице.

В итоге получается, что при (A,B) от 1 до 100 всего 63 отсортированных Пифагоровых чисел, (126 с повторами), из которых уникальны только 18.

На рисунке 1 показана таблица в Excel-е в которой найдены все Пифагоровы числа (с катетами, не превосходящими сто) и посчитано их количество, ровно 126 с повторами.

Серьезное изучение вопроса

Ниже в Таблице 3 представлены Пифагоровы тройки с катетами не более 10 000, их количество оказывается всего 1 788.