Бесплатный фрагмент - Геометрические построения на плоскости

Введение

Под геометрическими построениями понимают элементарные построения на плоскости, основанные на основных положениях геометрии.

Геометрические построения на плоскости производятся с помощью циркуля и линейки.

Базовыми задачами при построении на плоскости являются:

— Построение отрезка, равного данному.

— Деление отрезка пополам.

— Деление отрезка на части.

— Построение перпендикуляра к отрезку в данной точке.

— Построение серединного перпендикуляра данного отрезка.

— Построение прямой, проходящей через заданную точку и перпендикулярную данной прямой.

— Построение прямой, параллельной данной прямой и проходящей через заданную точку.

— Построение угла, равного данному.

— Деление угла на части.

— Построение касательных к окружности.

— Построение вписанных и описанных окружностей.

Существуют задачи на построение, которые не разрешимы с помощью циркуля и линейки. К ним относятся:

1. Задача о делении угла на три равные части.

2. Задача о построении куба, объем которого в два раза больше объема данного куба.

3. Задача о построении квадрата, равновеликого данному кругу.

Задачи на построение обычно разделяют на четыре части: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ состоит в установлении зависимостей между данными фигурами и искомой фигурой с целью нахождения способа решения задачи.

Построение состоит в перечислении основных построений, которые надо выполнить для решения задачи, при этом выполняя действия на чертеже.

Доказательство служит для того, чтобы удовлетвориться, что построенная фигура удовлетворяет всем поставленным условиям. Иногда это непосредственно следует из анализа и построения.

При исследовании рассматриваются варианты, когда задача не имеет решения или имеет несколько вариантов решения при различных данных.

Построение отрезков и прямых

Задание 1. Построить отрезок равный данному.

Решение. На прямой отмечаем точку А — начало отрезка. Затем раствором циркуля, равным данному отрезку на прямой из точки А откладываем отрезок АВ, равный данному.

Задание 2. Разделить отрезок пополам.

Решение. Пусть дан отрезок АВ:

Из точек А и В проводим дуги радиусом большим половины длины отрезка:

Соединяем точки пересечения дуг. Точка пересечения с отрезком АВ делит данный отрезок пополам:

Подобным образом строится серединный перпендикуляр к отрезку.

Задание 3. Разделить данный отрезок на данное число равных частей.

Решение. Проводим прямую, параллельную данному отрезку АВ.

На прямой откладываем нужное число равных отрезков.

Через крайние точки и точки А и В проводим прямые и получаем точку О.

Через точку О и остальные точки проводим прямые, которые и отсекают на отрезке АВ равные части.

Эту задачу можно решить другим способом.

Через любой конец отрезка AB под произвольным углом к нему (лучше острым) проводим прямую AC. С помощью циркуля от точки A на прямой AC откладываем нужно число равных отрезков. Последнюю точку D соединяем с точкой B, а через остальные точки проводим прямые, параллельные прямой BD, до пересечения их с отрезком AB. Точки пересечения разделят отрезок AB на нужные равные части.

Задание 4. Разделить данный отрезок на части, пропорциональные данным величинам.

Решение. Проводим прямую, параллельную данному отрезку АВ.

На прямой откладываем отрезки, пропорциональные данным величинам.

Через крайние точки и точки А и В проводим прямые и получаем точку О.

Через точку О и остальные точки проводим прямые, которые и отсекают на отрезке АВ пропорциональные части.

Задание 5. Построить перпендикуляр к прямой MN в данной ее точке А.

Решение. Пусть дана прямая MN и точка А лежащая на этой прямой.

Из произвольной точки О, не лежащей на прямой, проводим окружность радиусом ОА. Через вторую точку В пересечения окружности с прямой проводим диаметр ВС. Конец диаметра С соединяем с точкой А.

СА — искомый перпендикуляр.

Задание 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной.

Решение. Возможны два случая:

1. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на прямой а:

Из точки А проводим дугу, так чтобы она пересекала прямую а в двух точках:

Из точек пересечения дуги с прямой а проводим две дуги тем же радиусом:

Соединяем точки пересечения дуг и получаем прямую, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А:

2. Пусть даны прямая а и точка А, лежащая на прямой а:

Из точки А строим дугу произвольного радиуса:

Из точек пересечения прямой и дуги проводим две дуги равными радиусами:

Через точки пересечения дуг проводим прямую и получаем перпендикуляр к прямой а в точке А:

Задание 7. Через данную точку провести прямую, параллельную данной.

Решение. Пусть дана прямая АВ и точка С, не лежащая на прямой.

Произвольным раствором циркуля проводим окружность с центром в точке С так, чтобы она пересекла прямую АВ.

Тем же раствором циркуля от одной из точек пересечения М откладываем на АВ в любую сторону отрезок MN. Снова тем же раствором засекаем из точки N дугу. Точку Р пересечения дуги с окружностью соединяем с данной точкой С.

РС — искомая прямая.

Задание 8. Провести прямую, параллельную заданной прямой MN и отстоящую от нее на расстояние а.

Решение. Через произвольную точку В на прямой MN проводим прямую AB, перпендикулярную к заданной. На перпендикуляре от точки В откладываем отрезок BC, равный заданному расстоянию а. Через точку С проводим прямую CD, параллельную заданной.

Отрезок BC можно отложить на перпендикуляре в обе стороны, поэтому задача имеет два решения.

Задание 9. Даны отрезки а и b. Построить отрезок длиной.

Решение. Построим отрезок длиной а+b:

Делим полученный отрезок пополам и проводим окружность радиусом (a+b):2.

Из точки С проводим перпендикуляр до пересечения с окружностью: